T = t1 + t2 + t3 + … + tn + …

La trivella dell’ultimo mese – iniziata per l’esattezza (perché io prendo nota di tutte le mie trivelle da quando iniziano a quando finiscono) il 23/07/2008 alle ore 02.10 del mattino – che sto ancora elaborando, mi ha portato alle seguenti riflessioni, tuttora in corso.
La domanda, elaborata in piena notte, è stata questa:
E’ più grande la “quantità” che rappresenta l’infinito o il “numero” di punti che compongono una retta?Partendo dal presupposto che tutti dovremmo ricordare gli assiomi elementari dell’infinito e della retta (ovvero, senza scendere troppo nello specifico, di due elementi entrambi non misurabili), esiste un aspetto al quale non avevo mai pensato, un’illuminazione data dalla considerazione seguente.
Gli elementi che sto tentando di misurare non sono in realtà il valore dell’infinito astratto e il valore in punti di una retta bensì i termini “quantità” e “numero” in rapporto al concetto di valore dimensionabile (se preferite, quantizzabile in senso generico). Da questo punto di vista, infatti, sia una quantità che un numero sono riconducibili ad un valore supremo. Non metto a confronto infinito e retta, ma quantità e numero. Secondo questa logica (del tutto soggettiva, ovviamente), tutto ciò che è infinito è in contraddizione con se stesso perché, per essere stato definito “infinito” è intrinseco il fatto che DEBBA anche essere stato “misurato”, che qualcuno o qualcosa abbiano tentato di ricondurlo a “quantità” e/o “numeri” .Esempio: io conto, conto, conto, conto e conto e poi, a un certo punto, siccome conto senza fine, decido (perché cerco di MISURARE ma non ci riesco) che l’oggetto della mia misurazione numerica (attenzione, non quantitativa ma NUMERICA) è infinito. Diciamo che “prendo per buono un fallimento” e me la sbrigo pensando: “Ok, basta contare, è infinito”.

Ora, il dubbio sorto è stato questo:
Se è “infinito” come è stato misurato?Per me tutto ciò che non è misurabile (indipendentemente dalla variabile che si adotta a “Valore”) per definizione non esiste, eppure ci hanno insegnato cos’è l’infinito e cos’è la retta.

Possibili risposte:
1) esiste un “infinito (‘quantità non numerico’) più grande di un altro infinito”stando alla risposta 1) potrei dire che l’infinito è infinitamente più grande di una retta quindi e che, se non è così, devo poter essere in grado di dimostrare il contrario; sempre stando alla risposta 1) potrei dire che l’infinito e la retta hanno la stessa dimensione (che per assurdo è sempre l’infinito), ovvero che ho potuto constatare (misurandoli) che sono banalmente uguali.
2) esiste una “dimensione numerica o quantitativa” secondo la quale, oltre un certo Valore, una cosa diventa “infinita”stando alla risposta 2) potrei dire che, ok, ho misurato fino ad un certo punto e poi, presa dallo sconforto, ho declamato che è infinito: ma il ‘certo punto’ rappresenta il Valore di cui sopra e, come tale, deve appartenere anch’esso ad una quantità misurabile.
Ho posto la domanda originaria (E’ più grande la “quantità” che rappresenta l’infinito o il “numero” di punti che compongono una retta?) ad una persona che non fossi io ma che ritenevo all’altezza di una risposta credibile (o quantomeno esaustiva per poter riprendere sonno) e la risposta (giunta il 23/07/2008 alle ore 9.20 via sms, moderno strumento che oggi mi permette, appunto, di misurare ad esempio quanto è durata la mia trivella) è stata:
“E’ più grande l’infinito. Lo ha dimostrato Zenone. Il paradosso di Achille e la tartaruga.”
E’ il primo sms della mattina; io nel frattempo ho dormito meno di 4 ore e la prima persona che mi si imprime in mente è Zenone. Mentre faccio tutto quello che devo fare, come sempre, uno scomparto isolato della mia mente elabora quel che di Zenone esiste ancora nella mia memoria (poco), cercando di ricordare cosa sostenesse esattamente nel suo (secondo) paradosso. La mia giornata prosegue e umilmente mi convinco di non ricordare così bene le argomentazioni che possono aver spinto, secoli dopo, qualcuno ad usare il paradosso di Zenone per rispondere alla mia domanda. Anzi, questa deduzione mi fa pure un po’ incacchiare perché temo che, fin quando non avrò modo di verificarla, qualcuno avrà in mano la mia risposta senza alcuna fatica e, soprattutto, senza aver rinunciato come me a tante ore di sonno.
Aspetto il mio momento e ovviamente ricorro ad internet appena posso (ossia la notte successiva), in cerca dell’esatta definizione di questo paradosso. Lo rimedio senza troppa fatica su Wiki (che grande invenzione il free web!) e lo confronto con qualche testo impolverato della mia libreria e con qualche altro risultato da Google. Nel giro di un’oretta mi convinco sulla fonte e adotto il risultato seguente:

Il paradosso di Achille e la tartaruga afferma che se Achille (detto “piè veloce”) venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la Tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l’infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.
In pratica, posto che la velocità di Achille (Va) sia N volte quella della tartaruga (Vt) le cose avvengono così: dopo un certo tempo t1 Achille arriva dove era la tartaruga alla partenza (L1). Nel frattempo la tartaruga ha compiuto un pezzo di strada e si trova nel punto L2. Occorre un ulteriore tempo t2 per giungere in L2, ma nel frattempo la tartaruga è giunta nel punto L3 … e così via.
Quindi per raggiungere la tartaruga Achille impiega un tempo
T = t1+t2+t3+…+tn+… e quindi non la raggiungerà mai.

Ora, posto che questo paradosso si rivela inefficace e non esattamente pertinente fino in fondo alla mia domanda, dopo aver stanato da un monolocale mentale di circa 2 pixel quel ricordo lontano e precario “dell’inquilino Zenone”, in merito al caso specifico mi pongo una domanda molto semplice (e abbandono la possibile attinenza tra il paradosso di Zenone e la risposta che cerco io). Posto che Achille è un essere umano (un cui piede è più o meno grande come una tartaruga intera) e che una tartaruga è, irrimediabilmente e poverina, una tartaruga (la cui dimensione, per quanto grande, è simile a quella di un solo piede di Achille), è mai possibile immaginare che se gli facciamo correre i 100m (anche dandone 50 di vantaggio alla tartaruga) Achille possa, tra i due, arrivare ultimo?!! Io capisco i paradossi, li ammiro, mi affascinano (quasi quanto Brad Pitt in Troy), li studio e cerco di apprezzare la fatica di chi, in almeno tante notti in bianco quanto le mie, ha cercato di dare una ragione alle sue idee e alle proprie convinzioni … ma non fino a questo punto! Tra Achille e una tartaruga non può essere una tartaruga a finire sul podio, o meglio … è possibile … si … ma solo nel caso in cui nessuno abbia mai scoperto che in realtà Achille era un bruco a 3 piedi della regione sud africana del Wurtmundi … Chiuso l’argomento, non c’è storia. Condivido la formula, anche se non in relazione alla mia trivella, ma non l’esempio. Caro Zenone, puoi tornare a guardare la TV a 10 pollici che ti ho messo nel mini soggiorno del monolocale in cui eri (e ringraziami se non ti sfratto!). Detto ciò, “ti omaggio” dell’unico esemplare di tartaruga (quello raffigurato nella vignetta) che per un solo buon motivo gareggerebbe anche con un razzo pur sapendo di perdere…

Alle ore 03.13 del 24/07/2008 sono quindi al punto in cui ero. Ho la domanda ma non la risposta. Cammino avanti e indietro e faccio su e giù per le scale, ma non succede nulla. Dormo. Poco. Mi sveglio presto perché arrivano gli operai che, a qualche secolo di distanza da Zenone, mi suggeriscono di ricorrere alle moderne tecnologie idrauliche per risolvere il problema dell’acqua piena di calcio (che se non fosse un problema ma uno sport a quest’ora a casa mia avrebbe vinto lo scudetto) attraverso la semplice (15 giorni), utile (sporca e spande sali ovunque), indolore (c’è un mostro in giardino atterrato dal pianeta Marte) ed economica (un accessorio enorme e orrendo che sembra un barile di plastica pieno di tubi inutili alla modica somma di 2000 euro circa, manodopera esclusa) istallazione di un magnifico “dolcificatore” … e io che già sognavo una specie di balia umana (ovviamente maschio) dedita all’assecondare piacevolmente anche il sonno dei più irrequieti. Bah …
Si fa pomeriggio inoltrato. Si cena con gli amici e si arriva, senza trivelle, alla notte seguente. E’ venerdì. In fondo mi posso concedere un weekend di tregua dal tormento della retta e dell’infinito. Metto a nanna la trivella in un angolo insonorizzato della mia “laguna mentale” e, sapendo che passerò a Milano i primi giorni della settimana successiva, mi sforzo di non pensarci perché ho bisogno di spazio necessario ad altro almeno fino a giovedì 31/07.
Senza troppe conseguenze indesiderate, arrivo al 01/08 e, forse quei pochi giorni di “distacco dalla retta e dell’infinito” mi fanno bene perché ho come la sensazione di non doverci più pensare fino a domenica 03/08.
A quel punto, riprendo possesso della settimana passata e di quella successiva che, attendendomi, riserva un sacco di sorprese. Riempio fino allo scoppio i giorni 4, 5 e 6 agosto sulla mia agenda, in modo da poter fare uso del tempo al netto degli impegni per abbandonarmi ad un sonno che (seppur discontinuo e disturbato) trovo in piccole porzioni avanzate da qualche notte del mese prima.
Dedico i giorni 7 e 8 a domandarmi in che cosa il mio “presentimento” del 19/7 (che avrebbe dovuto avvenire tra il 5 e il 8 agosto) si sarebbe manifestato e lo scopro solo il 7 per puro caso (come sempre). La sera del 8 si incrociano due eventi “distrattivi” che continuano a tenermi lontana da una trivella che so già essere di nuovo molto vicina e ceno da Don Vito ai Parioli, dopo un’eternità, con l’amico paparazzo di una vita.
L’analisi dei giorni a seguire 9 e 10 agosto è che mi pianto in un’infinita lettura continua (grazie alla quale finisco “L’eleganza del riccio”, inizio e finisco “L’elisir del furto secondo il dharma” e inizio “Gomorra” che sto ancora leggendo ma sono comunque arrivata a metà), invitando la trivella “retta-infinito” a starmi lontana … Ci riesco per un po’. La notte del 10 mi aiuta Waki e arrivo all’11…

La mattina del 11/8, oggi, mi domando:
E’ più grande la “quantità” che rappresenta l’infinito o il “numero” di punti che compongono una retta?
Ci penso. Non rispondo. Mi guardo intorno sperando di trovare la risposta giusta scritta su un muro, sapendo che nella mia teoria ha senso un’unica risposta: non esiste una risposta perché questa domanda non ha senso ponendo ad oggetto della domanda stessa due entità che, in quanto non misurabili, perché infinite, non esistono.

Definisco pertanto il seguente assioma:
Se sul nulla si domanda del nulla si risponde. Niente = Niente.
Eppure c’è ancora qualcosa che non mi convince…

1 commento su “T = t1 + t2 + t3 + … + tn + …”

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